树状数组及典型例题

Sun, 13 Jul 2025 11:40:00 +0800

BIT 中 Binary 是形容 Index 的，不是形容 Tree 的。

树状数组

树状数组是一种支持单点修改和区间查询的代码量较小的数据结构。树状数组能解决的问题是线段树能解决的问题的子集，也就是说树状数组能解决的问题线段树一定能解决，线段树能解决的问题树状数组不一定能解决。

常规情况下用树状数组的前提条件：存储的信息和运算方法要支持结合律和可差分。

可差分：有逆运算。

当然，例如 $\max$ 等不可差分运算，树状数组只能支持前缀查询。

引入

举个例子，我们想知道 $a[1] + a[2] + \cdots + a[7]$ 的前缀和。

普通的做法是：直接将 $7$ 个数求和。

树状数组的做法是：将一段前缀 $[1, n]$ 分割成不超过 $\log n$ 段区间，并通过一些预处理使得每段区间的和都可以 $O(1)$ 地求出。于是，我们就成功地缩减了问题规模。

管辖区间

下图展示了树状数组的工作原理：

不难发现，$c[i]$ 管辖 $[i - lowbit(i) + 1, i]$ 这段区间。

lowbit(x) 是指 x 在二进制下最低的 1 及其后面的 0，根据二进制反码相关知识可以推导出较为简单的计算方法：lowbit(x) = x & -x。

前缀（区间）查询

为了不重不漏的拆分前缀区间，每次向前“跳”的时候一定是要“跳”到当前区间的左端点的左一位作为新区间的右端点，根据刚刚提到的管辖区间可得新右端点应为 $i - lowbit(i)$。

int query(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)) res += c[i]; // 此处运算方法根据题意替换；看个人习惯，for循环可写作while循环
    return res;
}

注意第 3 行不要写成 i -= lowbit(x)

根据前缀和的原理，只要运算方法是可差分的，可以前缀查询就是可以区间查询。

单点修改

在进行单点修改时，只需遍历所有管辖 $a[i]$ 的 $c[x]$。由于 $c[i]$ 被 $c[i + lowbit(i)]$ 直接管辖，我们就可以直接通过这种方式来遍历所有需要修改的 $c[x]$。

1
2
3

void update(int x, int val) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) c[i] += val; // 根据题意替换；可写作while循环
}

建树

最简单的方法是直接替换成 $n$ 次单点修改，复杂度 $O(n \log n)$。

也可以 $\Theta (n)$ 建树，方法很多，这里介绍一种：

既然 $c[i]$ 表示的区间是 $[i - lowbit(i) + 1, i]$，我们就可以 $\Theta (n)$ 建立一个前缀和数组，再通过前缀和求区间和的方法写入 $c$ 数组。

复杂度分析

时间复杂度：

建树：$\Theta (n)$ 或 $O(n \log n)$
修改：$O(\log n)$
查询：$O(\log n)$

空间复杂度：$O(n)$

参考代码

P3374 【模板】树状数组 1

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 5e5 + 10;

LL a[N], c[N];
int n, m;

inline int lowbit(int x) { return x & -x; }

void update(int x, LL val) {
    while (x <= n) {
        c[x] += val;
        x += lowbit(x);
    }
}

LL query(int x) {
    LL res = 0;
    while (x > 0) {
        res += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i], update(i, a[i]);

    while (m -- ) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            int x; LL k;
            cin >> x >> k;
            update(x, k);
        } else if (op == 2) {
            int x, y;
            cin >> x >> y;
            cout << query(y) - query(x - 1) << endl;
        }
    }
    return 0;
}

Luogu P3368. 树状数组 2

P3368 【模板】树状数组 2

题意

区间修改，单点查询。

分析

我们可以通过差分算法将区间修改转化为单点修改，同时单点查询变为区间查询，树状数组秒了。

参考代码

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 5e5 + 10;

LL a[N], s[N];
LL c[N];
int n, m;

inline int lowbit(int x) { return x & -x; }

void update(int x, LL val) {
    while (x <= n) {
        c[x] += val;
        x += lowbit(x);
    }
}

LL query(int x) {
    LL res = 0;
    while (x > 0) {
        res += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = a[i] - a[i - 1];
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        update(i, s[i]);
    }

    while (m -- ) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            LL x, y, k;
            cin >> x >> y >> k;
            update(x, k);
            update(y + 1, -k);
        } else if (op == 2) {
            int x;
            cin >> x;
            cout << query(x) << endl;
        }
    }
    return 0;
}

快速幂

Thu, 11 Aug 2022 11:56:00 +0800

目的

求$m ^ k$ $\bmod$ $p$

反复平方法

预处理

$O(k)$预处理出来以下的数：
$m ^ {2 ^ 0}$ $\bmod$ $p$
$m ^ {2 ^ 1}$ $\bmod$ $p$
$m ^ {2 ^ 2}$ $\bmod$ $p$
…
$m ^ {2 ^{\log{k}}}$ $\bmod$ $p$

怎么做？直接循环！代码忽略，因为还要优化。

算答案

举例子，$4 ^{5}$ $\bmod$ $10$ $ = (4^{2 ^ 2}$ $\bmod$ $10$ $\times$ $4 ^{2 ^ 0}$ $\bmod$ $10)$ $\bmod$ $10$

就可以调预处理的数了，
$4^{2 ^ 2}$ $\bmod$ $10$ $ = $ $6$
$4^{2 ^ 0}$ $\bmod$ $10$ $ = $ $4$
$(6$ $\times$ $4)$ $\bmod$ $10$ $ = $ $4$

验证一下：
$4^5$ $\bmod$ $10$ $=$ $1024$ $\bmod$ $10$ $=$ $4$

把$k$转化为二进制并取出对应的数再相乘，$O(k)$。

把两个步骤合在一起

int qmi(int m, int k, int p) {
    int t = 1 % p;
    while (k) {
        if (k & 1) t = (LL)t * m % p;
        m = (LL)m * m % p;
        k >>= 1;
    }
    return t;
}

关键操作：

k & 1 $k$ 的末位（二进制）为$0$
LL 乘的过程可能会爆int，使用long long

至此，模板题就可以$\Large{\color{green}{AC}}$辣！

应用题

幂次方

题面

对任意正整数 $N$，计算 $X^N \bmod 233333$ 的值。

（输入输出不用管他）

解法

把$233333$看作$p$，彻头彻尾的一道快速幂题。

qmi(X, N, 233333)

越狱

题面

监狱有连续编号为 $1$ 到 $n$ 的 $n$ 个房间，每个房间关押一个犯人。

有 $m$ 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。

如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。

求有多少种状态可能发生越狱，对 $100003$ 取余。

解法

直接想发生越狱的情况数不好想，那就想不发生越狱，$1$有$n$钟选择，$2$要想不发生越狱需要避开$1$的选择，有$n - 1$钟，后面的每一个人都需要避开前面一人的选择，都是$n - 1$种选择。列算式： $$m (m - 1)^{n-1}$$ 那不越狱的方案数就是： $$m^n - m(m - 1)^{n - 1}$$ 用快速幂解决问题。

位运算 on 分而治之

树状数组及典型例题

树状数组

引入

管辖区间

前缀（区间）查询

单点修改

建树

复杂度分析

参考代码

Luogu P3368. 树状数组 2

题意

分析

参考代码

快速幂

目的

反复平方法

预处理

算答案

把两个步骤合在一起

应用题

幂次方

题面

解法

越狱

题面

解法