目的

求$m ^ k$ $\bmod$ $p$

反复平方法

预处理

$O(k)$预处理出来以下的数：
$m ^ {2 ^ 0}$ $\bmod$ $p$
$m ^ {2 ^ 1}$ $\bmod$ $p$
$m ^ {2 ^ 2}$ $\bmod$ $p$
…
$m ^ {2 ^{\log{k}}}$ $\bmod$ $p$

怎么做？直接循环！代码忽略，因为还要优化。

算答案

举例子，$4 ^{5}$ $\bmod$ $10$ $ = (4^{2 ^ 2}$ $\bmod$ $10$ $\times$ $4 ^{2 ^ 0}$ $\bmod$ $10)$ $\bmod$ $10$

就可以调预处理的数了，
$4^{2 ^ 2}$ $\bmod$ $10$ $ = $ $6$
$4^{2 ^ 0}$ $\bmod$ $10$ $ = $ $4$
$(6$ $\times$ $4)$ $\bmod$ $10$ $ = $ $4$

验证一下：
$4^5$ $\bmod$ $10$ $=$ $1024$ $\bmod$ $10$ $=$ $4$

把$k$转化为二进制并取出对应的数再相乘，$O(k)$。

把两个步骤合在一起

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int qmi(int m, int k, int p) {
    int t = 1 % p;
    while (k) {
        if (k & 1) t = (LL)t * m % p;
        m = (LL)m * m % p;
        k >>= 1;
    }
    return t;
}

关键操作：

• k & 1 $k$ 的末位（二进制）为$0$
• LL 乘的过程可能会爆int，使用long long

至此，模板题就可以$\Large{\color{green}{AC}}$辣！

应用题

幂次方

题面

对任意正整数 $N$，计算 $X^N \bmod 233333$ 的值。

（输入输出不用管他）

解法

把$233333$看作$p$，彻头彻尾的一道快速幂题。

qmi(X, N, 233333)

越狱

题面

监狱有连续编号为 $1$ 到 $n$ 的 $n$ 个房间，每个房间关押一个犯人。

有 $m$ 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。

如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。

求有多少种状态可能发生越狱，对 $100003$ 取余。

解法

直接想发生越狱的情况数不好想，那就想不发生越狱，$1$有$n$钟选择，$2$要想不发生越狱需要避开$1$的选择，有$n - 1$钟，后面的每一个人都需要避开前面一人的选择，都是$n - 1$种选择。列算式： $$m (m - 1)^{n-1}$$ 那不越狱的方案数就是： $$m^n - m(m - 1)^{n - 1}$$ 用快速幂解决问题。